Inviluppi della parabola

Il vertice H di una squadra FHt è vincolato a percorrere una retta r; il lato HF della squadra è costretto a passare per il punto fisso F (esterno ad r). Quando H si muove, l'altro lato t della squadra inviluppa una parabola avente F come fuoco ed r come tangente nel proprio vertice; r è la podaria della parabola rispetto al fuocoSi chiama podaria di un punto P rispetto a una curva piana qualsiasi il luogo dei punti di incontro delle tangenti alla curva con le rette ad esse rispettivamente perpendicolari condotte per il punto P considerato.

Il modello fisico illustra il teorema seguente:

La podaria del fuoco d’una parabola rispetto alla parabola stessa è la retta tangente alla curva nel vertice.

Quindi, facendo scorrere il vertice di un angolo retto lungo una retta mentre uno dei suoi lati è costretto a passare per un punto fisso P non appartenente alla retta, l’altro lato dell’angolo inviluppa una parabola avente come fuoco il punto P (e come asse la perpendicolare condotta da P alla retta utilizzata)

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Angolo mobile generico 

Le aste a e t sono saldate in A in modo da formare un angolo assegnato; l'asta a (dotata di una scanalatura) é vincolata a passare per il perno fisso F, il vertice A dell'angolo scorre nella scanalatura rettilinea s. Quando A si muove lungo s, il segmento tracciato sull'asta t inviluppa un arco di parabola: s è una tangente alla parabola, di cui F è il fuoco. 

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Metodo della polare 

OA e OB sono due aste di ugual lunghezza nei cui estremi A e B sono incernierati i punti medi delle aste PC e PD (di ugual lunghezza) . Il punto P mediante l'asta PM è vincolato a percorrere la circonferenza di centro M passante per O. L'asta CD che rappresenta la polare di P rispetto alla circonferenza di centro O e raggio√(OA² -AP²) , inviluppa una parabola

Dimostrazione:

Quando P percorre la circonferenza , il suo corrispondente Q nell'inversione circolare rispetto alla circonferenza (centro O e raggio percorre la retta r, perpendicolare ad OM (proprietà della inversione circolare). Per ogni posizione di P, i punti P e Q sono allineati con O . La retta CD, essendo in ogni posizione perpendicolare a QO, è tangente ad una parabola (avente asse di simmetria coincidente con OM, vertice sulla retta r e fuoco nel punto O) di cui r è la podaria.

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Metodo della corrispondenza 

Tra i punti x’ e x di due punteggiate r ed r’ – materializzate nel modello fisico da aste di legno una delle quali può ruotare (nel piano da esse individuato) attorno a un punto – è stabilita una corrispondenza definita dalla relazione

x’ + x = k (*).

I punti corrispondenti sono congiunti da rette (materializzate nel modello fisico con fili tesi). La (*) è evidentemente una similitudine. I fili tesi inviluppano una parabola. Il valore di k può essere scelto liberamente. Nel modello fisico esposto k=30

Se le punteggiate sono parallele, si trovano in posizione prospettiva (si incontrano nel loro punto improprio, che è unito). In tal caso la parabola degenera (si vede un fascio di rette).

Una delle due rette può anche ruotare in modo da non essere più complanare all’altra. Le congiungenti i punti che si corrispondono generano in tal caso una superficie rigata.

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