SCHEDE ESPLORATIVE

Le schede di questa seconda parte sono suggerite agli insegnanti come strumenti di lavoro: contengono alcuni quesiti utilizzabili per guidare l’attività degli studenti durante l’esplorazione dei modelli fisici. Le domande sono poste in ordine di difficoltà e le richieste più impegnative sono contrassegnate da un asterisco.

L’insegnante potrà scegliere dall’elenco relativo al modello esaminato i quesiti che ritiene più adatti, tenendo conto della situazione in cui si trova ad operare e del suo progetto didattico.

Potrà ovviamente modificarne l’enunciato o aggiungere nuove richieste.

E’ preferibile che le domande siano proposte agli studenti una per volta: la lettura dell’elenco completo può infatti diminuire la loro concentrazione sui singoli problemi.

Trasformazioni

Traslazione

Doppio parallelogramma articolato (Kempe).

· Quante aste rigide compongono il sistema articolato? Misura la lunghezza delle aste. C’è un’asta vincolata al piano? P e Q sono i tracciatori (oppure tracciatore e puntatore). Quanti gradi di libertà possiedono? Quanti gradi di libertà possiedono A, B, C, D, E, F (perni o cerniere del sistema articolato)?

· Se il puntatore descrive un segmento, qual è la figura descritta dal tracciatore?

· Se il puntatore descrive un triangolo, qual è la figura descritta dal tracciatore? Confronta la figura di partenza e quella tracciata dal sistema articolato: che cosa osservi?

· Quando il puntatore percorre (in un verso determinato) il contorno di una figura, il tracciatore percorre nello stesso verso il contorno della figura corrispondente, oppure no?

· Esistono punti uniti? Rette unite? Rette luogo di punti uniti? Altre figure unite?

· Se rappresenti le aste che compongono la macchina mediante segmenti, si genera una figura geometrica che subisce deformazioni quando puntatore e tracciatore si muovono: quali sono le proprietà di questa figura invarianti durante il movimento?

· Caratterizza la trasformazione realizzata (localmente) dal sistema articolato (si chiama traslazione). (Caratterizzare = definire, mediante elenco delle proprietà)

· Per realizzare una traslazione è necessario che P e Q siano equidistanti da E e da F? P e Q possono essere scelti all’interno del segmento EF?

· Due figure corrispondenti in una traslazione (considerate appartenenti a due piani diversi sovrapposti) si possono sovrapporre punto per punto muovendo un piano rispetto all’altro? In caso affermativo, qual è il movimento più semplice per realizzare lo scopo ? (moto traslatorio).

· Caratterizzare un moto traslatorio.

· Che forma hanno (tenendo conto dei vincoli fisici imposti dal meccanismo al movimento dell’asta PQ) le regioni piane messe in corrispondenza dalla macchina? Disegnarle: si consiglia di far assumere alla macchina le configurazioni limite; tenere conto dei vincoli fisici. (**).

· Individuare i parametri dello strumento, distinguendo quelli che determinano la traslazione da quelli che determinano soltanto le regioni corrispondenti dei piani sovrapposti.

· Rappresentare in un unico sistema di riferimento cartesiano (adagiato sul supporto comune ai due piani sovrapposti) sia i punti del piano p iniziale (x, y) sia quelli del piano p¢ trasformato (x’, y’).

· Scrivere le equazioni che consentono di calcolare le coordinate dei punti (x’, y’) a partire da quelle dei punti (x, y), per una traslazione assegnata?

· Tali equazioni hanno valore locale o globale? Se si vogliono applicare le equazioni a una regione limitata del piano, quali condizioni occorre assegnare per le coordinate (x, y)? (*)

· E’ corretto individuare una traslazione mediante un vettore? Perché?

· Che aspetto ha lo strumento che realizza (localmente) una identità (interpretata come traslazione di vettore nullo)?

· Giustificare, utilizzando la macchina, la conservazione dell’allineamento, delle lunghezze e del parallelismo in una traslazione.(*)

Simmetria assiale

Biellismo con rombo articolato.

· Da quante aste rigide è composto il biellismo? Misura la lunghezza delle aste. Le quattro cerniere che articolano il meccanismo sono collocate nei vertici A, B, C, D di un rombo. Due vertici del rombo scorrono entro una scanalatura rettilinea; quanti gradi di libertà hanno gli altri due vertici? Come sono stati scelti, sulle aste, i punti P e Q (tracciatore e puntatore, oppure: entrambi tracciatori)?

· Se il puntatore descrive un segmento, qual è la figura descritta dal tracciatore?

· Se il puntatore descrive un triangolo, qual è la figura descritta dal tracciatore? Confronta la figura di partenza e quella tracciata dal biellismo: che cosa osservi?

· Quando il puntatore percorre (in un verso determinato) il contorno di una figura, il tracciatore percorre nello stesso verso il contorno della figura corrispondente, oppure no?

· Esistono punti uniti? Rette unite? Rette luogo di punti uniti? Altre figure unite?

· Se rappresentiamo le aste che compongono la macchina mediante segmenti, si genera una figura geometrica che subisce deformazioni quando puntatore e tracciatore si muovono: quali sono le proprietà di questa figura invarianti durante il movimento?

· Caratterizza la trasformazione realizzata (localmente) dal biellismo (si chiama simmetria assiale ortogonale). (Caratterizzare = definire, mediante elenco delle proprietà).

· Per realizzare una simmetria assiale è necessario che PB sia uguale a DQ? I punti P e Q possono essere scelti all’interno dei segmenti BC e CD?

· Due figure corrispondenti in una simmetria assiale ortogonale (considerate appartenenti a due piani diversi sovrapposti) si possono sovrapporre punto per punto muovendo un piano rispetto all’altro? In caso affermativo, qual è il movimento più semplice per realizzare lo scopo ? (ribaltamento).

· Caratterizzare un ribaltamento. Esaminare due figure ottenute l’una dall’altra mediante un ribaltamento: la figura d’arrivo mostra (rispetto a quella di partenza) la medesima faccia o una faccia diversa? (Recto/verso)

· Che forma hanno tenendo conto dei limiti fisici che limitano il movimento della macchina, le regioni piane che essa mette in corrispondenza? Disegnarle: si consiglia di far assumere alla macchina le configurazioni limite; tenere conto dei vincoli fisici.

· Individuare i parametri dello strumento che determinano, sui piani sovrapposti, le regioni corrispondenti.

· Rappresentare mediante un unico sistema di riferimento cartesiano (adagiato sul supporto comune ai due piani sovrapposti) sia i punti del piano p iniziale (x, y) sia quelli del piano p¢ trasformato (x’, y’).

· Scrivere le equazioni che consentono di calcolare le coordinate dei punti (x’, y’) a partire da quelle dei punti (x, y)?

· Tali equazioni hanno valore locale o globale? Se si vogliono applicare le equazioni a una regione limitata del piano, quali condizioni occorre assegnare per le coordinate (x, y)? (*)

· E’ possibile sostituire il rombo articolato con un altro quadrilatero? Con quali vantaggi o svantaggi? (*)

· Giustificare, utilizzando la macchina, la conservazione dell’allineamento, della lunghezza dei segmenti, del parallelismo. (*)

· Perché non si conserva il verso di percorrenza del contorno in due figure corrispondenti? (*)

Rotazione

Pantografo del Sylvester

· Da quante aste rigide è composto il sistema articolato? Misurando la lunghezza delle aste specifica la natura del quadrilatero OABC e dei triangoli costruiti su due suoi lati consecutivi. Dove sono collocati P e Q (tracciatore e puntatore, oppure: entrambi tracciatori)?

· Un vertice del quadrilatero articolato è imperniato al piano. Quanti gradi di libertà hanno puntatore e tracciatore? Il parallelogramma può durante la deformazione diventare un antiparallelogramma?

· Rispetto ad un parallelogramma articolato semplice (senza triangoli) è diverso (nelle varie situazioni possibili: tutti i vertici liberi, un vertice imperniato al piano, due vertici imperniati al piano) il numero dei gradi di libertà? Perché?

· Se il puntatore descrive un segmento, qual è la figura descritta dal tracciatore?

· Se il puntatore descrive un triangolo, qual è la figura descritta dal tracciatore? Confronta la figura di partenza e quella tracciata dal sistema articolato: che cosa osservi?

· Quando il puntatore percorre (in un verso determinato) il contorno di una figura, il tracciatore percorre nello stesso verso il contorno della figura corrispondente, oppure no?

· Esistono punti uniti? Rette unite? Rette luogo di punti uniti? Altre figure unite?

· Dimostra mediante un ragionamento l’invarianza delle proprietà elencate. (**).

· Caratterizza (caratterizzare = definire, mediante elenco delle proprietà) la trasformazione realizzata (localmente) dal sistema articolato (si chiama rotazione di ampiezza a attorno a un centro). Qual è il valore di a ? (misuralo in alcuni casi e confrontalo con l’ampiezza dell’angolo al vertice dei triangoli isosceli)

· Due figure corrispondenti in questa trasformazione (considerate appartenenti a due piani diversi sovrapposti) si possono sovrapporre punto per punto muovendo un piano rispetto all’altro? In caso affermativo, qual è il movimento più semplice per realizzare lo scopo?

· Che forma hanno (tenendo conto dei vincoli fisici imposti al movimento della macchina) le regioni piane messe in corrispondenza dalla macchina? (Si consiglia di far assumere al pantografo le configurazioni “limite) (*)

· Quali parametri dello strumento determinano le regioni corrispondenti dei piani sovrapposti? Quali parametri individuano l’ampiezza della rotazione?

· Rappresentare in un unico sistema di riferimento (cartesiano o polare, adagiato sul supporto comune ai due piani sovrapposti) sia i punti del piano iniziale p, sia quelli del piano trasformato p¢.

· Scrivere le equazioni che consentono di calcolare le coordinate polari dei punti di p¢ a partire da quelle dei punti di p. Confrontarle con quelle della traslazione (in coordinate cartesiane). (**).

· Le equazioni determinate hanno valore locale o globale?

· Giustificare,utilizzando la macchina, la conservazione dell’allineamento, delle lunghezze e del parallelismo. (*)

· Studiare il comportamento del pantografo nel caso in cui entrambi i triangoli isosceli abbiano gli angoli al vertice in B (fig. 1), oppure nel caso in cui uno di essi abbia il vertice in A e l'altro in B (fig. 2). (*)


fig. 1	fig. 2

Simmetria centrale

· Descrivere il sistema: numero di aste che lo compongono; caratteristiche del quadrilatero articolato; collocazione delle cerniere e del perno (O) che lo vincola al piano; gradi di libertà di A, B, C, D, P, Q; individuazione della posizione di P e Q (puntatore e tracciatore) sulle aste a cui appartengono.

· Se il puntatore descrive un segmento, qual è la figura descritta dal tracciatore?

· Se il puntatore descrive un triangolo, qual è la figura descritta dal tracciatore?

· Confronta figura di partenza e figura tracciata: che cosa osservi? Quando il puntatore percorre in un verso determinato il contorno di una figura, il tracciatore percorre nello stesso verso il contorno della figura corrispondente?

· Esistono punti uniti? Rette unite? Rette luogo di punti uniti? Altre figure unite?

· Rappresentando le aste che compongono la macchina mediante segmenti, si genera una figura geometrica che subisce deformazioni quando puntatore e tracciatore si muovono: quali sono le proprietà di questa figura invarianti durante il movimento?

· Il rombo articolato può diventare un antiparallelogramma?

· Caratterizza la trasformazione realizzata (localmente) dal sistema articolato (si chiama simmetria centrale).

Due figure corrispondenti in questa trasformazione (considerate appartenenti a due piani diversi sovrapposti) si possono sovrapporre punto per punto muovendo un piano rispetto all’altro? In caso affermativo, qual è il movimento più semplice per realizzare lo scopo?

· Che forma hanno le regioni piane messe in corrispondenza dalla macchina? ( si tenga conto dei vincoli fisici)

· Quali parametri dello strumento determinano le regioni corrispondenti dei piani sovrapposti?

· E’ possibile sostituire al rombo un parallelogramma articolato lasciando immutate le proprietà della trasformazione realizzata dallo strumento?

· Scrivere le equazioni che consentono di calcolare le coordinate dei punti di p¢ a partire da quelle dei punti di p.

· La trasformazione realizzata da questo sistema articolato si può caratterizzare come una particolare rotazione? Determinarne ampiezza e centro.

· Giustificare, utilizzando la macchina, la conservazione dell’allineamento, delle lunghezze, del parallelismo. (*)

Stiramento

Quadrilatero del Delaunay

· Descrivere il sistema: numero di aste che lo compongono; caratteristiche del quadrilatero articolato; posizione dei punti M ed N, che scivolano entro la scanalatura rettilinea s, rispetto alla cerniera B; gradi di libertà; individuazione della posizione di P e Q (puntatore e tracciatore) sulle aste a cui appartengono.

· Quale relazione esiste tra la retta s a cui appartiene la scanalatura e quella che congiunge puntatore e tracciatore?

· Se il puntatore descrive un segmento, qual è la figura descritta dal tracciatore?

· Se il puntatore descrive un triangolo o un quadrato, quali figure sono descritte dal tracciatore? Confronta le figure di partenza e quelle corrispondenti tracciate dal biellismo: che cosa osservi?

· Quando il puntatore percorre (in un verso determinato) il contorno di una figura, il tracciatore percorre nello stesso verso il contorno della figura corrispondente oppure no?

· Esistono punti uniti? Rette unite? Rette luogo di punti uniti? Altre figure unite?

· Giustifica mediante un ragionamento l’invarianza delle proprietà elencate (dimostrazione). (*).

· Caratterizza la trasformazione realizzata (localmente) dal sistema articolato (si chiama stiramento di rapporto k e asse s). Qual è il valore di k ?

· Scambia fra loro puntatore e tracciatore (il punto che era prima puntatore diventa tracciatore e viceversa) Come cambia il rapporto k?

· Il valore di k può essere un numero positivo? (*)

· Che forma hanno le regioni piane messe in corrispondenza dalla macchina? (Si consiglia di far assumere al pantografo le configurazioni “limite”; tenere conto dei vincoli fisici) (*)

· Quali parametri dello strumento determinano le regioni corrispondenti dei piani sovrapposti? Quali parametri individuano il rapporto k?

· Rappresentare in un unico sistema di riferimento cartesiano (adagiato sul supporto comune ai due piani sovrapposti) sia i punti del piano iniziale p, sia quelli del piano trasformato p¢.

· Scrivere le equazioni che consentono di calcolare le coordinate (x’, y’) dei punti di p¢ a partire da quelle (x, y) dei punti di p.

· Le equazioni determinate hanno valore locale o globale?

· Giustificare, utilizzando la macchina, la conservazione dell’allineamento e del parallelismo. (*)

Omotetia

Pantografo di Scheiner

· Descrivere il sistema: numero di aste che lo compongono; caratteristiche del quadrilatero ABCD (formato dalle cerniere) e dei triangoli OAP e ODQ (P e Q rispettivamente puntatore e tracciatore, O perno fissato al piano); gradi di libertà di A, B, C, D, P, Q.

· Quali punti del sistema articolato rimangono allineati con il perno fisso durante la deformazione del sistema?

· Verificare ( e dimostrare) che il puntatore e il tracciatore hanno dal perno fisso distanze il cui rapporto k è costante.

· Se il puntatore descrive un segmento, qual è la figura descritta dal tracciatore?

· Se il puntatore descrive un triangolo, qual è la figura descritta dal tracciatore? Confronta la figura di partenza e quella tracciata dal sistema articolato: che cosa osservi?

· Quando il puntatore percorre (in un verso determinato) il contorno di una figura, il tracciatore percorre nello stesso verso il contorno della figura corrispondente, oppure no?

· Esistono punti uniti? Rette unite? Rette luogo di punti uniti? Altre figure unite?

· Giustifica mediante un ragionamento l’invarianza delle proprietà elencate (dimostrazione). (*)

· Caratterizza la trasformazione realizzata (localmente) dal sistema articolato (si chiama omotetia di rapporto k e centro O). Qual è il valore di k ?

· Scambia fra loro puntatore e tracciatore (il punto che era prima puntatore diventa tracciatore e viceversa). Come cambia il rapporto k?

· Il valore di k può essere un numero negativo? (*)

· Che forma hanno le regioni piane messe in corrispondenza dalla macchina? ( si consiglia di far assumere al pantografo le configurazioni “limite” e di tener conto dei vincoli fisici. (*)

· Quali parametri dello strumento determinano le regioni corrispondenti dei piani sovrapposti? Quali parametri individuano il rapporto k?

· Scrivere le equazioni che consentono di calcolare le coordinate dei punti di p¢ a partire da quelle dei punti di p. (*).

· Le equazioni determinate hanno valore locale o globale?

Curvigrafi

Guida rettilinea

Le figure 1 e 2 rappresentano due diverse configurazioni dello strumento. Si passa dall’una all’altra con un movimento continuo. In figura 2 le aste FG e AG sono state prolungate fino ai punti H e K (rispettive intersezioni con i prolungamenti dell’asta DC). Si confrontino queste figure con lo strumento reale, contrassegnando perni e cerniere con le medesime lettere presenti nelle figure. Misurando le lunghezze delle aste metalliche si verifichino le seguenti proprietà:

ABCD è un rombo

a. ABCD è un rombo

b. AGCD è un deltoide

c. GFEC è un deltoide: FE=EC, GC=GF

d. AD:AG=GF:FE

e. Valgono le seguenti uguaglianze fra gli angoli: AGC=FEC, GAD=GFE, ADC=FGC.

Le precedenti proprietà sono invarianti durante le deformazioni del sistema articolato? I deltoidi ABCD e GFEC sono simili?

Sulla base delle proprietà che avete verificato è possibile dimostrare il teorema: Il triangolo AGF è isoscele e la sua base si mantiene sempre perpendicolare alla retta AB (direzione prefissata perché A e B sono perni).

Traccia per la dimostrazione:

- I triangoli FHE e GCK (fig.2) sono simili (perché? ricordare le proprietà dei deltoidi)

- Gli angoli GHD ed AKC sono uguali?

- Le aste AG e GF sono ugualmente inclinate rispetto alla retta AB (che ha direzione prefissata)?

- La parallela alla retta AB condotta per il punto G è bisettrice dell’angolo AGF?

Dalla risposta a queste domande segue la tesi.

Parabolografo del Cavalieri

Individua nella macchina le squadre AVK e VCK: quanti gradi di libertà hanno i punti A,V,K,C? Quali sono i vincoli a cui è assoggettato il movimento delle due squadre? Indica con x il segmento variabile AC, con y il segmento variabile VC e con p il segmento costante CK . Scrivi la relazione tra x, y e p considerando il triangolo rettangolo AVK.

L’ equazione scritta esplicita un legame fra segmenti (lunghezze) variabili o tra punti?
Per scrivere l’ equazioni si è scelto implicitamente un sistema di riferimento? Qual è l'origine?
Qual è l'asse delle ascisse?
Qual è l'asse delle ordinate?
Sono (origine e assi) legati allo strumento generatore?
Sono legati alla traiettoria, e in che relazione si trovano con essa?
Gli strumenti analizzati descrivono tutta la curva o soltanto una parte?

Per la parte di curva descritta con moto continuo è necessario fare ricorso a numeri negativi?

Ellissografo del Delaunay

Osserva la macchina: quanti gradi di libertà hanno i punti P e Q?
Quale è la curva descritta da P? Quale relazione intercorre fra le distanze di P e di Q dalla scanalatura?
La curva descritta da Q possiede centro di simmetria? Possiede assi di simmetria?
Puoi affermare che la curva descritta da Q è una ellisse?
Misura la lunghezza dei suoi semiassi e calcola il loro rapporto. Verifica che esso è uguale al rapporto delle distanze di P e Q dalla scanalatura in una qualsiasi configurazione della macchina.
Immagina di poter spostare il perno O: che cosa puoi dire delle curve tracciate da Q corrispondenti alle diverse posizioni di O? Quali sono le posizioni di O che non consentono di tracciare interamente la curva?
Immagina di sostituire la manovella OP con un’altra di lunghezza diversa: che cosa puoi dire delle curve tracciate da Q corrispondenti alle varie lunghezze della manovella? Quale è la lunghezza massima della manovella che consente di tracciare l’intera curva?
Osserva la macchina: se P ruota in senso orario, in quale verso ruota Q?
I punti P e Q sono corrispondenti in una trasformazione geometrica? Quale? Scrivine le equazioni in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale opportunamente scelto.
Usando la trasformazione, trova l’equazione dell’ellisse. (*)

Ellissografo ad antiparallelogramma

Osserva la macchina: quanti gradi di libertà hanno i punti C, D e P?
Quale è la traiettoria di C? E quella di D?
Quali sono, nello strumento, gli elementi fissi (immobili sul piano in cui la macchina si deforma); quali i parametri (cioè gli elementi o parti che possono essere cambiati senza alterare né la struttura del sistema articolato – che deve rimanere un antiparallelogramma); quali le variabili (cioè gli elementi che – dopo aver fissato i parametri – hanno lunghezza o ampiezza necessariamente variabili durante il movimento)?
Quali segmenti di lunghezza variabile sono uguali fra loro?
Quali segmenti di lunghezza variabile hanno somma costante?
Quale è la proprietà della curva tracciata da P?
Quale è il centro di simmetria? Quali sono gli assi di simmetria?
Sposta C in modo che la retta BC passi per A e calcola la lunghezza dell’asse maggiore; sposta C in modo che la retta CD sia parallelo ad AB e calcola la lunghezza dell’asse minore.

(Nomenclatura: chiamiamo fuochi i due punti fissi; circonferenze direttrici quelle che hanno i fuochi come centri.)

Quali sono le distanze tra il punto che descrive l’ellisse e ognuna delle due circonferenze direttrici? (la distanza tra un punto e una circonferenza deve essere definita come distanza minima)
Quali sono le distanze tra il punto che descrive l’ellisse e ognuno dei due fuochi?
Quali fra queste distanze rimangono uguali durante il moto?
Ricava da questa osservazione una definizione dell’ellisse basata sulla uguaglianza di due distanze.

Iperbolografo ad antiparallelogramma

Osserva e muovi lo strumento. Ci sono tre tracciatori (A, B, P). Disegna su un foglio le tre curve che lo strumento produce.
Quali sono le curve tracciate ?
Quali sono, nello strumento, gli elementi fissi (o “parti” fisse, cioè che devono rimanere immobili sul piano in cui la macchina si deforma); quali i parametri (cioè gli elementi o parti che possono essere cambiati senza alterare la struttura del sistema articolato – che deve rimanere un antiparallelogramma); quali le variabili (cioè gli elementi che necessariamente cambiano durante il moto)?
Ci sono segmenti variabili che si mantengono fra loro uguali durante il moto?
Ci sono segmenti variabili le cui lunghezze hanno (durante il moto) differenza costante?
Quale è la proprietà della curva tracciata da P?
Quale è il centro di simmetria? Quali sono gli assi di simmetria?

(Nomenclatura: chiamiamo fuochi i due punti fissi; circonferenze direttrici quelle che hanno i fuochi come centri.)

Quali sono le distanze tra il punto che descrive l'iperbole e ognuna delle due circonferenze direttrici? (la distanza tra un punto e una circonferenza deve essere definita come distanza minima)
Quali sono le distanze tra il punto che descrive l'iperbole e ognuno dei due fuochi?
Quali, fra queste distanze, rimangono uguali durante il moto?
Si può ricavare da questa osservazione una definizione dell'iperbole basata sulla uguaglianza di due distanze?

Osserva la figura costituita dalle tre curve che hai tracciato nel piano. Ci sono simmetrie in tale figura? Quali? (Osserva bene la situazione in cui i lati minori dell'antiparallelogramma sono paralleli)
Secondo te, l'iperbole è disegnata per intero o ne manca una parte?

· Quale è la configurazione dell'antiparallelogramma in cui il punto P (che percorre l'iperbole) ha minima distanza da uno dei due fuochi? Sapresti caratterizzare geometricamente - in questa situazione- la posizione del punto P?

· Riprendi in esame lo strumento; sfila dai due perni che lo vincolano al piano il lato maggiore dell'antiparallelogramma e infila in questi perni ( dopo aver ruotato lo strumento di un angolo opportuno) i vertici dell'altro lato maggiore BA. L'arco “nuovo” è simmetrico del precedente? Rispetto a quale retta? I “nuovi” punti soddisfano alle medesime proprietà cui soddisfacevano gli altri? Perché?

Individua un centro di simmetria nella iperbole.

· Ritorna alla situazione in cui i lati minori dell'antiparallelogramma sono paralleli. Rispondi per iscritto alle seguenti domande: Dove si intersecano i lati maggiori dell'antiparallelogramma? I segmenti OA, CB sono paralleli? I segmenti OB, BC sono perpendicolari? Perché? La retta passante per il centro di simmetria e parallela ai lati minori dell'antiparallelogramma può incontrare la curva? Perché? (Questa retta si chiama asintoto dell'iperbole). C'è un altro asintoto? Considera (in questa configurazione) le lunghezze dei segmenti OB, OC, CB. Da quale relazione sono collegati?

Prospettografi

Vetro del Dürer

Prima parte

Oggetti del piano di terra (costruzione dell’immagine prospettica di un punto del piano di terra)

Disegna una generica retta sul piano di terra, e sul vetro la sua immagine prospettica, quest’ultima è una retta? dove cade il loro punto intersezione?( linea di terra; intersezione del piano di terra con il vetro)
Sempre sul piano disegna due rette incidenti in un punto A e sul vetro le loro immagini ; esse si incontrano in un punto A’: guardando dall’oculare (punto di vista, V) i punti A e A’ si sovrappongono? Che cosa ne deduci ?
Disegna sul piano rette parallele alla linea di terra fra loro equidistanti, e sul vetro le loro immagini: queste sono parallele alla linea di terra? Sono fra loro equidistanti? (*)la corrispondenza fra oggetto e immagine conserva le distanze?
Disegna sul piano rette passanti per la proiezione orizzontale di V (punto Vo) e sul vetro le loro immagini prospettiche; queste sono rette incidenti? Parallele? Quale direzione hanno rispetto alla linea di terra?

5. Disegna rette perpendicolari al vetro e verifica che le loro immagini prospettiche si incontrano tutte nello stesso punto (Pp, punto principale). A quale altezza dal piano di terra si trova questo punto? (*) la corrispondenza tra oggetto e immagine conserva il parallelismo?

6. Traccia sul vetro la retta parallela al piano di terra passante per il punto principale (linea d’orizzonte). Verifica che rette del piano di terra fra loro parallele hanno immagini che si incontrano in punti della linea d’orizzonte. In particolare le rette inclinate di 45°(o 135°) rispetto alla linea di terra hanno immagini che si incontrano in un punto (della linea d’orizzonte) che ha dal Pp distanza uguale a quella del punto di vista dal vetro. I due punti, simmetrici rispetto al Pp, sono detti punti di distanza (D). per giustificare quanto osservato disegna sul piano orizzontale la retta, inclinata di 45°, passante per il punto Vo proiezione orizzontale di V, e considera il piano individuato da tale retta e dal punto di vista : questo piano interseca il vetro secondo una retta che….

7. (**)Supponiamo ora di ruotare il vetro intorno alla linea di terra fino a sovrapporlo al piano di terra: sui due piani sovrapposti la linea di terra e la linea d’orizzonte sono rette parallele la cui distanza è uguale all’altezza del punto di vista V, il Pp è un punto della linea d’orizzonte, i punti di distanza , simmetrici rispetto al Pp, hanno da esso distanza uguale a quella di V dal vetro. Dalla conoscenza di questi elementi e utilizzando l’esplorazione precedente (in particolare punti: 1,2, 4, 6,7), puoi suggerire una possibile costruzione con riga e compasso dell’immagine prospettica di un punto P del piano di terra? ( conduci per P la retta perpendicolare alla linea di terra fino ad incontrarla, e, sempre per P la retta inclinata di 45°….)

8. (**) Riprendi il disegno del punto 3; da un punto della prima retta (quella coincidente con la linea di terra) traccia una retta (d) inclinata di 45°, e, dai punti intersezione di questa retta con le precedenti rette parallele manda le perpendicolari alla linea di terra; in tal modo ottieni il disegno di una scacchiera a maglie quadrate. Sul vetro disegna le immagini prospettiche della retta d e delle rette perpendicolari alla linea di terra. Guardando dall’oculare che cosa osservi? (se il disegno è stato realizzato con precisione dovresti vedere le rette parallele alla linea di terra passare per i punti di intersezione delle immagini disegnate). Questa osservazione ti suggerisce un modo per costruire la prospettiva di un fascio di rette parallele alla linea di terra e fra loro equidistanti? (rette di profondità)

Seconda parte:

oggetti di un piano parallelo al piano di terra (costruzione dell’immagine prospettica di un punto generico).

1. Utilizzando il bastoncino (con base d’appoggio) in dotazione al modello disegnane le immagini prospettiche in corrispondenza di alcune sue posizioni e rispondi alle seguenti domande: a) Quali sono le immagini prospettiche delle rette perpendicolari al piano di terra? b) La lunghezza dell’immagine del bastoncino è sempre la stessa? c) Da che cosa essa dipende? Sposta ora la base del bastoncino lungo una retta; le immagini prospettiche della estremità superiore sono allineate?

2. Riprendi i disegni utilizzati nella prima parte e appoggiali su un piano parallelo al piano di terra. Ripeti le esplorazione eseguite nella prima parte: quali proprietà restano immutate? Quali sono modificate?

3. Essendo arbitraria l’altezza del piano utilizzato, sono vere le seguenti affermazioni?

a) Tutte le rette di un piano orizzontale (ad esclusione di quelle parallele al vetro) intersecano le rispettive immagini prospettiche nei punti di una retta parallela alla linea di terra avente da essa distanza uguale all’altezza del piano rispetto al piano di terra

b) Tutte le rette perpendicolari al vetro hanno immagini concorrenti nel Pp

c) Tutte le rette orizzontali fra loro parallele hanno immagini concorrenti in un punto della linea d’orizzonte, in particolare quelle inclinate di 45° o 135° rispetto al vetro hanno immagini concorrenti nei punti di distanza

d) (**) La costruzione suggerita al punto 7 può essere applicata ad un qualsiasi punto dello spazio dietro al vetro purché alla linea di terra venga sostituita una retta ad essa parallela e avente da essa distanza uguale all’altezza del punto rispetto al piano di terra

Terza parte

oggetti giacenti su un piano qualsiasi passante per la linea di terra (approfondimento)

Accosta al vetro un piano passante per la linea di terra e inclinato rispetto al piano di terra; ripeti l’esplorazione precedente e rispondi alle seguenti domande:

1. Le rette del piano fra loro parallele hanno immagini concorrenti in un punto?

2. Questo punto appartiene alla linea d’orizzonte?

3. Disegna le immagini di tre coppie di rette parallele: i punti in cui esse concorrono sono allineati?

4. Le rette del piano perpendicolari alla linea di terra hanno immagini concorrenti in un punto? Questo punto coincide con il Pp precedente?

5. L’altezza da terra di questo punto è legata alla inclinazione del piano?

Griglia del Dürer

Costruisci due immagini prospettiche di un oggetto utilizzando le griglie disegnate sui piani di trasporto. Verifica che il rapporto fra le dimensioni delle immagini è uguale a quello fra i lati delle quadrettature.

Sportello del Dürer

Per utilizzare lo sportello occorrono almeno 4 operatori: il primo deve tenere fermo l’oggetto e tendere il filo (raggio visuale) tra il punto di vista e i punti dell’oggetto, il secondo deve tenere immobile il traliccio che sostiene lo sportello, il terzo deve spostare i fili agganciati alla cornice del quadro in modo che risultino tangenti al raggio visuale senza spostarlo. Il quarto operatore deve chiudere lo sportello e segnare il punto di intersezione dei fili agganciati alla cornice.