INTRODUZIONE

Tra macchine, meccanica e matematica esiste da sempre uno stretto rapporto.

Macchine e geometria

Gli strumenti ammessi nella geometria di Euclide sono stati la riga e il compasso, con una fondamentale differenza fra loro: nel compasso il tracciatore è pilotato da un meccanismo (sistema articolato.) che incorpora la proprietà caratteristica della curva da generare(tutti i punti hanno la stessa distanza da un punto fisso), mentre nella riga la retta viene tracciata come bordo esterno di una lastra in materiale rigido , nel qual caso l’allineamento dei punti è giustificato solo dalla “buona” costruzione della riga.

Il problema di costruire una guida rettilinea, cioè un meccanismo (privo di parti striscianti) che costringa un punto a muoversi lungo una traiettoria rettilinea, presenta notevoli difficoltà e ha impegnato ingegneri e matematici a partire dagli ultimi anni del XVIII secolo.

Gli ingegneri avevano il problema di guidare il moto rettilineo alternato dell’asta del pistone in una macchina a vapore: accettavano quindi anche soluzioni approssimate; i matematici cercavano invece soluzioni esatte: benché alcuni fossero convinti della loro inesistenza, esse furono trovate nella seconda metà del XIX secolo.

Ripercorriamo la storia

Nella geometria greca le uniche costruzioni accettabili erano quelle eseguite con riga e compasso.

Le soluzioni di alcuni problemi geometrici ottenute per via meccanica non rientravano nei canoni di razionalità riconosciuti dalla scienza geometrica dell’epoca. Per Platone “..i meccanici corrompevano e avvelenavano ciò che vi era di eccellente nella geometria, facendola scendere da oggetti intellettivi e incorporei a quelli sensibili e materiali, facendo uso della materia corporea, con la quale è necessario molto vilmente e bassamente impiegare l’uso delle mani, allora .. la meccanica viene ad essere separata dalla geometria”. Ma “l’arte di inventare, di approntare strumenti e dispositivi che si chiama meccanica o organica …fu messa in evidenza da Archita e da Eudosso. in parte per sostenere e fortificare con esempi di strumenti materiali e sensibili alcune proposizioni geometriche di cui non è possibile trovare le dimostrazioni concettuali” (Plutarco) (strumenti mesolabio, concoide, compasso perfetto)

Si fa strada nel Quattrocento con le produzioni degli artisti, degli architetti, degli ingegneri una nuova considerazione del lavoro e della funzione del sapere tecnico, e la difesa delle arti meccaniche dando inizio al passaggio dalla cultura medievale a quella rinascimentale. In particolare questo è dovuto alla nascita della “perspectiva artificialis”.

I prospettografi esemplificano assai bene l’integrazione tra geometria, ottica, strumentazione esatta, l’accordo tra ragionamenti astratti e abilità pratica, caratteristiche importanti della rivoluzione scientifica. (strumenti: prospettografi del Dürer, di Schiener e del Barozzi).

Un altro esempio importante della rinnovata considerazione delle arti meccaniche sono le macchine di “invenzion piana”: strumenti per tracciare curve che ne incorporano e materializzano le proprietà (strumenti: parabolografo del Cavalieri, ellissografi di Leonardo e di Proclo)

Cartesio non aveva alcuna diffidenza per le arti meccaniche. Con Cartesio le curve tracciate con moto continuo da meccanismi di vario tipo, sono accettate e usate nel discorso teorico, purché soddisfino ad alcune condizioni: le curve devono essere generate mediante movimenti concatenati in modo che i seguenti sono interamente determinati dai precedenti e in ogni istante si ha una conoscenza esatta dei loro rapporti. L’interesse e la fecondità dei meccanismi descritti da Cartesio non sta tanto nella costruzione meccanica come tale, ma nell’idea intellettuale che ad essa presiede, un principio di “ordine”(strumenti: iperbolografo, trisettore, macchina per le lenti)

J.Watt nel 1784 ideò un meccanismo che consentiva di tracciare un tratto rettilineo (guida rettilinea approssimata) ma solo nel 1864 Peaucellier diede al problema una soluzione esatta con il suo inversore. (strumenti: guide rettilinee di Watt, di Roberts e di Peaucellier),

La ricerca di guide rettilinee diede impulso allo studio dei sistemi articolati (sistemi costituiti da barre o parti rigide imperniate tra loro) da un lato per le loro applicazioni nella meccanica e dall’altro per la ricchezza e complessità della geometria in essi contenuta. I pantografi, costituiti da sistemi articolati o da biellismi piani vengono studiati come tracciatori di curve: “La linea percorsa da un punto qualsiasi guidato da una combinazione di parti articolate è necessariamente una curva algebrica. Reciprocamente tutte le curve algebriche possono essere generate da un sistema articolato convenientemente scelto.” (teorema di Kempe); ma hanno anche importanza come strumenti per realizzare trasformazioni geometriche, capitolo della geometria ottocentesca, sul quale Felix Klein proporrà una fondamentale sistemazione della geometria. (strumenti: ellissografo ad antiparallelogramma, pantografi per simmetria assiale, dilatazione, traslazione)

L’ultimo strumento esposto (sezioni del toro) collega la geometria greca alla geometria delle trasformazioni: le sezioni del toro, studiate per primo da Perseo nel II sec. a.c. vengono tracciate nel piano (in un caso particolare), da un biellismo che realizza una trasformazione geometrica non lineare.